Jeudi 10h00-12h00, 6214 AA si possible (5ième étage sinon).
Le séminaire consiste en une ou deux présentations de deux heures sur un sujet en lien avec les interactions entre la géométrie et la physique (classique & quantique). Par exemple : la théorie de jauge, la géométrie/topologie symplectique/Poisson/contact, les diverses méthodes de quantifications (e.g. quantification géométrique ou autres méthodes analytiques, etc.), les QFT/TQFT/TFT, etc..
2016-03-31 : Vers une formulation
géométrique de la théorie des champs classiques, Noé
Aubin-Cadot.
2016-04-07 : Espaces de modules de
connexions, Noé Aubin-Cadot.
2016-04-14 : Ergodicité quantique (partie
1), Jean Lagacé.
2016-04-21 : Ergodicité quantique (partie
2), Jean Lagacé.
2016-05-05 : Petit panorama personnel des
liens entre la quantique et la symplectique (partie 1), Jordan
Payette.
2016-05-12 : Petit panorama personnel des
liens entre la quantique et la symplectique (partie 2), Jordan
Payette.
2016-05-19 : Les fibrés symplectiques (partie
1), Dustin Connery-Grigg.
2016-06-02 : Les fibrés symplectiques (partie
2), Dustin Connery-Grigg.
2016-06-17 : Théorie quantique des
champs, Dominique Rathel-Fournier.
2016-06-23 : Aspects symplectiques de la
première valeur propre, Jean Lagacé.
2016-07-28 : Vers une approche informaticienne
à la théorie quantique (partie 1), Charles Alexandre
Bédard.
2016-08-05 : Vers une approche informaticienne
à la théorie quantique (partie 2), Charles Alexandre
Bédard.
2016-08-11 : Limite semi-classique d’un
système complètement intégrable (partie 1), Jordan
Payette.
2016-08-18 : Limite semi-classique d’un
système complètement intégrable (partie 2), Jordan
Payette.
2016-09-09 : Survol de la conjecture
d’Atiyah-Floer et de ses variantes, Noé Aubin-Cadot.
TBA : TBA, TBA.
Je passe en revue les notions de G-fibrés principaux et associés, formes de connexions, forme de courbure, formes basiques et dérivée covariante extérieure. Un tel formalisme nous permettra de retrouver, dans un élégant contexte géométrique, les équations de Maxwell/Klein-Gordon ainsi que celles de Yang-Mills/Higgs à partir de leurs fonctionnelles d’action respectives.
Le groupe de jauge d’un G-fibré principal agit par rappel sur l’espace des connexions sur ce fibré. Je considérerai deux cas particuliers : l’espace de module d’instantons de Yang-Mills sur une 4-variété lisse et l’espace de module de connexions plates sur une surface de Riemann.
« RÉSUMÉ »
« RÉSUMÉ »
De nombreuses interactions existent entre la théorie symplectique et la théorie quantique, certaines plus appliquées, d’autres plus fondamentales. Ces liens me semblent se révéler sous un jour nouveau et potentiellement instructif dans le développement récent des aspects fonctionnels de la topologie symplectique (C^et C^0). Dans mes deux présentations, je compte présenter les rudiments de quelques formulations de la mécanique quantique pour lesquelles le rapprochement à la théorie symplectique se fait le plus sentir. Dans cette première présentation, je discuterai des axiomes de Dirac-von Neumann des théories « quantiques », traitant du cas de la théorie de Koopman-Von Neumann qui est une reformulation de la mécanique statistique classique, et je poursuivrai sur la formulation « espace de phase » de la théorie quantique. Je mentionnerai quelques liens entre quantique et dynamique au passage.
Dans cette deuxième présentation, je reviendrai sur la formulation « espace de phase » de la mécanique quantique. Je présenterai la correspondance de Weyl-Wigner qui montre l’équivalence de cette formulation à la formulation usuelle de la mécanique quantique. Cette correspondance s’interprète plutôt comme la quantification des observables classiques en théorie des opérateurs pseudo-différentiels. L’équivalence entre les deux formulations suggère l’introduction du produit-étoilé sur l’algèbre des observables classiques, ce qui conduit en retour à la question de la quantification formelle de l’algèbre des fonctions lisses d’une variété symplectique ou Poisson étudiée, par exemple, par Fedosov et Kontsevich.
« RÉSUMÉ »
« RÉSUMÉ »
L’idée sera de poursuivre sur deux thèmes qui ont déjà été abordés : la théorie des champs et la quantification. Je tenterai donc d’expliquer ce qu’est une théorie quantique des champs. Actuellement, les théories des champs étudiées par les physiciens leur permettent de faire des prédictions qui montrent un accord spectaculaire avec le résultat des expériences. Pourtant, les méthodes utilisées par les physiciens sont encore loin de posséder une formalisation mathématique rigoureuse. En fait, un des problèmes du millénaire est la formulation rigoureuse de la théorie de Yang-Mills quantique et la preuve de certaines propriétés. Mais avant de se lancer aveuglément dans les intégrales de Feynman, on se doit de répondre à la question : qu’est-ce qu’une théorie des champs quantiques ? Une réponse possible à cette question est donnée par les axiomes de Garding-Wightman, et le but de la présentation sera d’expliquer le formalisme mathématique et la justification physique de ces axiomes.
Le spectre du laplacien est un outil puissant pour trouver des invariants géométriques de variétés, ou pour distinguer certaines de leurs propriétés. En présentant l’article "Symplectic aspects of the first eigenvalue" de Leonid Polterovich, on s’intéressera à des classes de variétés, entre autre symplectiques ou kählériennes, pour lesquelles on a une borne uniforme sur la première valeur propre du laplacien (rigidité), ou pas (flexibilité). On verra ensuite quelques exemples qui permettent d’observer que la connaissance du spectre du laplacien permet, par exemple, de démontrer que certaines fibrations hamiltoniennes sur la sphère ne sont pas triviales. Je finirai par brièvement donner un lien entre ces bornes et la taille de la fibration, la longueur du lacet hamiltonien qui y est associé et la K-aire de la fibration.
Je présenterai l’approche informaticienne à la théorie quantique et je la mettrai en relation avec l’approche physicienne traditionnelle. À ne pas vous méprendre, «informaticienne» n’a rien à voir avec des simulations numérique. Je réfère plutôt au traitement quantique de l’information, qui, on le découvre, permet d’accomplir des tâches informatiques de plus en plus surprenantes (distribution de clés secrètes, téléportation quantique, factorisation efficace, boost quadratique de la recherche dans une liste). Pour satisfaire un auditoire plutôt matheux, je mettrai l’accent sur les structures mathématiques utilisés en théorie quantique de l’information.
Je présenterai le pont entre les axiomes informatiques et physiques de la théorie quantique grâce aux théorèmes de purification, de Krauss et Naimark. Je présenterai ensuite un théorème important pour la cryptographie quantique : celui du non-clonage. Je terminerai avec le problème ouvert des bases mutuellement non biaisées.
Je compte traiter de travaux de Pelayo, Polterovich et Vu Ngoc démontrant que toute notion de « limite semi-classique » d’un système complètement intégrable détermine une large partie dudit système. En fait, dans le cas particulier où le système complètement intégrable en question est une variété (symplectique) torique, cette variété est complètement déterminée par la limite semi-classique. Ceci est à comparer avec les premières présentations de Jean portant sur l’ergodicité quantique : bien que la complète intégrabilité soit l’exacte opposée de l’ergodicité, les résultats sont similaires, mais les « nôtres » sont plus pointus justement parce que l’intégrabilité est une condition exceptionnelle. Afin de mener à bien cette présentation, je réserverai la première séance à rappeler ce qu’est la théorie des actions de groupe hamiltoniennes, en particulier les propriétés des variétés toriques. Il s’agit d’un sujet où les preuves ne sont pas élémentaires, mais les résultats s’interprètent bien, surtout lorsque accompagnés d’exemples.
Je présenterai le formalisme minimaliste de quantification introduit par Pelayo, Polterovich et Vu Ngoc dans leur article. J’énoncerai aussi les résultats que les auteurs tirent de ce formalisme fort général et qu’ils peuvent donc appliquer à certains schèmes de quantification (telle que la quantification de Berezin-Toeplitz) de systèmes intégrables classiques. Ces résultats, jumelés à ceux que j’ai présentés dans la première séance, montrent effectivement que la limite semi-classique d’une variété symplectique torique détermine complètement cette dernière.
La conjecture d’Atiyah-Floer consiste, dans un contexte bien précis, en un éventuel isomorphisme entre l’homologie de Floer d’instantons et celle d’intersections lagrangiennes. Elle fut proposée par Atiyah en 1987. Elle est encore, à ce jour, une question ouverte. La principale difficulté de la conjecture est de travailler avec des lagrangiennes immergées et singulières dans une variété symplectique singulière. Plusieurs variantes de la conjecture furent proposées, parfois résolues avec succès, parfois prenant l’envergure d’un imposant et tentaculaire jeu de catégories, parfois suggérant une résolution imminente. Ces variantes s’attardent systématiquement, d’une manière ou d’une autre, à éviter/gérer le problème des singularités. Après avoir rapidement survolé les homologies de Floer d’instantons et d’intersections lagrangiennes je passerai en revue les différentes variantes et approches de la conjecture d’Atiyah à aujourd’hui.
Pour informations :
aubincn AT dms POINT umontreal POINT ca
Ou encore :
payettej AT dms POINT umontreal POINT ca